Der schwer fassbare „Einstein“ löst ein langjähriges mathematisches Problem

Und alles begann damit, dass ein Bastler „mit Formen herumspielte und experimentierte“.

Ein „aperiodisches Monotil“ oder Einstein ist eine Form, die eine unendliche flache Oberfläche in einem sich nicht wiederholenden Muster kachelt. Die Autoren einer neuen Arbeit nannten ihren Einstein „den Hut“, da er einem Fedora ähnelt. Bildnachweis: Craig Kaplan

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Von Siobhan Roberts

Letzten November, nach einem Jahrzehnt gescheiterter Versuche, vermutete David Smith, ein selbsternannter Formliebhaber aus Bridlington in East Yorkshire, England, dass er endlich ein offenes Problem in der Mathematik des Fliesenlegens gelöst haben könnte: Das heißt, er dachte, er könnte es schaffen habe einen „Einstein“ entdeckt.

Weniger poetisch ausgedrückt ist ein Einstein ein „aperiodisches Monotil“, eine Form, die eine Ebene oder eine unendliche zweidimensionale flache Oberfläche kachelt, jedoch nur in einem sich nicht wiederholenden Muster. (Der Begriff „Einstein“ kommt vom deutschen „ein stein“ oder „ein Stein“ – genauer gesagt „eine Fliese“ oder „eine Form“.) Ihre typische Tapete oder Ihr typischer Fliesenboden ist Teil eines unendlichen Musters, das sich regelmäßig wiederholt ; Wenn es verschoben oder „übersetzt“ wird, kann das Muster exakt mit sich selbst überlagert werden. Eine aperiodische Kachelung weist keine solche „translationale Symmetrie“ auf, und Mathematiker haben lange nach einer einzigen Form gesucht, die die Ebene auf diese Weise kacheln könnte. Dies ist als Einstein-Problem bekannt.

„Ich experimentiere ständig mit Formen herum“, sagte Herr Smith, 64, der unter anderem als Drucktechniker arbeitete und vorzeitig in den Ruhestand ging. Obwohl ihm Mathe in der Highschool Spaß gemacht habe, sei er darin nicht überragend gewesen, sagte er. Aber das Einstein-Problem beschäftigt ihn schon seit langem „zwangsvoll“.

Und nun beweist ein neues Papier – von Herrn Smith und drei Co-Autoren mit mathematischem und rechnerischem Fachwissen –, dass die Entdeckung von Herrn Smith wahr ist. Die Forscher nannten ihren Einstein „den Hut“, da er einem Fedora ähnelt. (Herr Smith trägt oft ein Kopftuch um den Kopf.) Der Artikel wurde noch nicht von Experten begutachtet.

„Das scheint eine bemerkenswerte Entdeckung zu sein!“ Das sagte Joshua Socolar, ein Physiker an der Duke University, der ein frühes Exemplar des von der New York Times bereitgestellten Artikels gelesen hatte, in einer E-Mail. „Der wichtigste Aspekt für mich ist, dass die Fliesen nicht eindeutig in eine der bekannten Strukturklassen fallen, die wir verstehen.“

„Das mathematische Ergebnis wirft einige interessante physikalische Fragen auf“, fügte er hinzu. „Man könnte sich vorstellen, auf ein Material mit einer solchen inneren Struktur zu stoßen oder es herzustellen.“ Dr. Socolar und Joan Taylor, eine unabhängige Forscherin in Burnie, Tasmanien, haben zuvor ein sechseckiges Monotil aus getrennten Teilen gefunden, was nach Ansicht einiger die Regeln übersteigt. (Sie fanden auch eine verbundene 3D-Version der Socolar-Taylor-Kachel.)

Anfänglich wurden mathematische Kachelungsbemühungen durch eine allgemeine Frage motiviert: Gab es eine Reihe von Formen, die die Ebene nur aperiodisch kacheln konnten? 1961 vermutete der Mathematiker Hao Wang, dass solche Mengen unmöglich seien, doch sein Schüler Robert Berger bewies bald, dass die Vermutung falsch war. Dr. Berger entdeckte einen aperiodischen Satz von 20.426 Kacheln und danach einen Satz von 104.

Dann lautete das Spiel: Wie wenige Spielsteine ​​würden ausreichen? In den 1970er Jahren reduzierte Sir Roger Penrose, ein mathematischer Physiker an der Universität Oxford, der für seine Forschungen zu Schwarzen Löchern den Nobelpreis für Physik 2020 erhielt, die Zahl auf zwei.

Andere haben seitdem Formen für zwei Fliesen gefunden. „Ich habe ein oder zwei eigene Exemplare“, sagte Chaim Goodman-Strauss, ein weiterer Autor der Studie, Professor an der University of Arkansas und außerdem Inhaber des Titels „Outreach Mathematician“ am National Museum of Mathematics in New York.

Er stellte fest, dass schwarze und weiße Quadrate neben dem bekannten, periodischen Schachbrettmuster auch seltsame, nichtperiodische Muster ergeben können. „Es ist wirklich ziemlich trivial, seltsame und interessante Muster erstellen zu können“, sagte er. Der Zauber der beiden Penrose-Kacheln besteht darin, dass sie nur nichtperiodische Muster erzeugen – das ist alles, was sie tun können.

„Aber dann war der Heilige Gral: Könnten Sie mit einer – einer Kachel auskommen?“ sagte Dr. Goodman-Strauss.

Noch vor ein paar Jahren war Sir Roger auf der Suche nach einem Einstein, doch er ließ diese Erkundung beiseite. „Ich habe die Zahl auf zwei reduziert, und jetzt haben wir sie auf eins reduziert!“ sagte er über den Hut. „Es ist eine Meisterleistung. Ich sehe keinen Grund, daran zu zweifeln.“

Das Papier lieferte zwei Beweise, die beide von Joseph Myers, einem Co-Autor und Softwareentwickler in Cambridge, England, ausgeführt wurden. Einer davon war ein traditioneller Beweis, der auf einer früheren Methode und benutzerdefiniertem Code basierte; ein anderer setzte eine neue, nicht computergestützte Technik ein, die von Dr. Myers entwickelt wurde.

Sir Roger fand die Beweise „sehr kompliziert“. Dennoch sei er „extrem fasziniert“ von Einstein, er sagte: „Es ist eine wirklich gute Form, auffallend einfach.“

Die Einfachheit kam ehrlich. Die Ermittlungen von Herrn Smith erfolgten größtenteils handschriftlich; Einer seiner Co-Autoren beschrieb ihn als „einfallsreichen Tüftler“.

Zunächst „fummelte“ er auf dem Computerbildschirm mit PolyForm Puzzle Solver herum, einer Software, die von Jaap Scherphuis, einem Fliesenleger-Enthusiasten und Puzzle-Theoretiker aus Delft, Niederlande, entwickelt wurde. Aber wenn eine Form Potenzial hatte, fertigte Herr Smith mit einer Silhouette-Schneidemaschine eine erste Charge von 32 Exemplaren aus Karton an. Dann fügte er die Fliesen wie bei einem Puzzle ohne Lücken oder Überlappungen zusammen und drehte die Fliesen nach Bedarf.

„Es ist immer schön, selbst Hand anzulegen“, sagte Herr Smith. „Es kann sehr meditativ sein. Und es vermittelt ein besseres Verständnis dafür, wie eine Form mosaikartig wirkt oder nicht.“

Als er im November eine Kachel fand, die das Flugzeug ohne sich wiederholendes Muster zu füllen schien, schickte er eine E-Mail an Craig Kaplan, einen Co-Autor und Informatiker an der University of Waterloo.

„Könnte diese Form eine Antwort auf das sogenannte ‚Einstein-Problem‘ sein – wäre das nicht eine Sache?“ Herr Smith schrieb.

„Es war klar, dass mit dieser Form etwas Ungewöhnliches passierte“, sagte Dr. Kaplan. Mit einem rechnerischen Ansatz, der auf früheren Forschungsergebnissen aufbaute, generierte sein Algorithmus immer größere Streifen von Hutkacheln. „Es schien keine Grenze zu geben, wie groß die Kacheln sein konnten, die die Software erstellen konnte“, sagte er.

Mit diesen Rohdaten untersuchten Herr Smith und Dr. Kaplan die hierarchische Struktur der Kacheln mit Augenmaß. Dr. Kaplan entdeckte und entschlüsselte verräterisches Verhalten, das einen traditionellen Aperiodizitätsbeweis eröffnete – die Methode, die Mathematiker „immer dann aus der Schublade holen, wenn man einen Kandidatensatz aperiodischer Kacheln hat“, sagte er.

Der erste Schritt, sagte Dr. Kaplan, bestand darin, „einen Satz von vier ‚Metatilen‘ zu definieren, einfache Formen, die für kleine Gruppierungen von einem, zwei oder vier Hüten stehen.“ Die Metatilen fügen sich zu vier größeren Formen zusammen, die sich ähnlich verhalten. Diese Anordnung, von Metatilen über Superplättchen bis hin zu Supersuperplättchen, deckte bis ins Unendliche „immer größere mathematische ‚Etagen‘ mit Kopien des Hutes ab“, sagte Dr. Kaplan. „Wir zeigen dann, dass diese Art der hierarchischen Anordnung im Wesentlichen die einzige Möglichkeit ist, die Ebene mit Hüten zu kacheln, was sich als ausreichend erweist, um zu zeigen, dass sie niemals periodisch gekachelt werden kann.“

„Es ist sehr clever“, sagte Dr. Berger, ein pensionierter Elektroingenieur aus Lexington, Massachusetts, in einem Interview. Auf die Gefahr hin, wählerisch zu wirken, wies er darauf hin, dass einige sich fragen könnten, ob es sich um einen Satz aperiodischer Monotilen mit zwei Kacheln und nicht mit einer Kachel handelt, da die Hutkachelung Reflexionen verwendet – die hutförmige Kachel und ihr Spiegelbild.

Dr. Goodman-Strauss hatte diese Subtilität auf einer Listing-Liste angesprochen: „Gibt es einen oder zwei Hüte?“ Der Konsens war, dass ein Monotil auch unter Berücksichtigung seiner Spiegelung als solches gilt. Das lässt eine offene Frage offen, sagte Dr. Berger: Gibt es einen Einstein, der die Arbeit ohne Nachdenken erledigt?

Dr. Kaplan stellte klar, dass „der Hut“ keine neue geometrische Erfindung sei. Es handelt sich um einen Polydrachen – er besteht aus acht Drachen. (Nehmen Sie ein Sechseck und zeichnen Sie drei Linien, die die Mitte jeder Seite mit der Mitte der gegenüberliegenden Seite verbinden; die sechs Formen, die sich ergeben, sind Drachen.)

„Es ist wahrscheinlich, dass andere in der Vergangenheit über diese Hutform nachgedacht haben, nur nicht in einem Kontext, in dem sie ihre Flieseneigenschaften untersucht haben“, sagte Dr. Kaplan. „Ich denke gerne, dass es sich vor aller Augen versteckt hat.“

Marjorie Senechal, Mathematikerin am Smith College, sagte: „In gewisser Weise hat es die ganze Zeit dort gesessen und darauf gewartet, dass jemand es findet.“ Dr. Senechals Forschung erforscht den benachbarten Bereich der mathematischen Kristallographie und Verbindungen mit Quasikristallen.

„Was mich am meisten beeindruckt, ist, dass diese aperiodische Kachelung auf einem sechseckigen Gitter angeordnet ist, das so periodisch ist, wie es nur geht“, sagte Doris Schattschneider, Mathematikerin an der Mährischen Universität, deren Forschung sich auf die mathematische Analyse von konzentriert periodische Fliesen, insbesondere die des niederländischen Künstlers MC Escher.

Dr. Senechal stimmte zu. „Es sitzt genau in den Sechsecken“, sagte sie. „Wie viele Menschen werden sich auf der ganzen Welt den Kopf zerbrechen und sich fragen: Warum habe ich das nicht gesehen?“

Unglaublicherweise fand Mr. Smith später einen zweiten Einstein. Er nannte es „die Schildkröte“ – einen Polydrachen, der nicht aus acht, sondern aus zehn Drachen besteht. Es sei „unheimlich“, sagte Dr. Kaplan. Er erinnerte sich, dass er in Panik geriet; er steckte bereits „bis zum Hals im Hut“.

Aber Dr. Myers, der ähnliche Berechnungen durchgeführt hatte, entdeckte prompt eine tiefe Verbindung zwischen dem Hut und der Schildkröte. Und er erkannte, dass es tatsächlich eine ganze Familie verwandter Einsteins gab – eine kontinuierliche, unzählige Unendlichkeit von Formen, die sich von einer zur nächsten verwandeln.

Von einigen anderen Familienmitgliedern war Herr Smith nicht so beeindruckt. „Sie sahen ein bisschen wie Betrüger oder Mutanten aus“, sagte er.

Aber diese Einstein-Familie motivierte den zweiten Beweis, der ein neues Werkzeug zum Beweis der Aperiodizität bietet. Die Rechnung schien „zu schön, um wahr zu sein“, sagte Dr. Myers in einer E-Mail. „Ich hatte keinen so anderen Ansatz zum Nachweis der Aperiodizität erwartet – aber als ich die Details aufschrieb, schien alles zusammenzupassen.“

Dr. Goodman-Strauss betrachtet die neue Technik als einen entscheidenden Aspekt der Entdeckung; Bisher gab es nur eine Handvoll Aperiodizitätsbeweise. Er räumte ein, dass es sich um „starken Käse“ handele, vielleicht nur etwas für eingefleischte Kenner. Die Bearbeitung dauerte ein paar Tage. „Dann war ich wie vom Blitz getroffen“, sagte er.

Herr Smith war erstaunt, als er sah, wie die Forschungsarbeit zustande kam. „Ich war keine Hilfe, um ehrlich zu sein.“ Er schätzte die Illustrationen, er sagte: „Ich bin eher ein Bildermensch.“

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